Ângulo

Ângulo é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. A abertura do ângulo é uma propriedade invariante e é medida em radianos ou graus.


Componentes de um  ângulo

• Semi-retas - são os lados do ângulo.
• Origem ou vértice - ponto onde as duas semi-retas se encontram.
• Bissetriz - é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.

Ângulos consecutivos: dois ângulos são consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Ângulos adjacentes: Dois ângulos consecutivos são adjacentes se, não têm pontos internos comuns.

Unidades de medidas para ângulos

A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. O SI utiliza o radiano como a unidade derivada para ângulos. Devido ao seu relacionamento com o comprimento do arco, radianos são uma unidade especial. Senos e co-senos cujos argumentos estão em radianos possuem propriedades analíticas particulares, tal como criar funções exponenciais em base e.

• A medida em graus de um ângulo é o comprimento de um arco, dividido pela circunferência de um círculo e multiplicada por 360. O símbolo de graus é um pequeno círculo sobrescrito °. 2π radianos é igual a 360° (um círculo completo), então um radiano é aproximadamente 57° e um grau é π/180 radianos.

• O gradiano, também chamado de grado, é uma medida angular onde o arco é dividido pela circunferência e multiplicado por 400. Essa forma é usada mais em triangulação.

• O ponto é usado em navegação, e é definida como 1/32 do círculo, ou exatamente 11,25°.

...

• O círculo completo ou volta completa representa o número ou a fração de voltas completas. Por exemplo, π/2 radianos = 90° = 1/4 de um círculo completo.

O ângulo nulo é um ângulo que tem 0°.

Medindo ângulos

O ângulo θ é o quociente de s por r.

Para medir um ângulo θ, um arco circular centrado no vértice do ângulo é desenhado. O comprimento do arco s é então dividido pelo raio do círculo r, e multiplicado por uma variavel k, que depende da unidade de medida selecionada (graus ou radianos). Se a unidade for radianos, k = 1; se a unidade for graus, .

Cabe mencionar que valor de θ é independente do tamanho do círculo (a proporção s/r é mantida), pois se o raio do círculo aumenta, o comprimento do arco também aumenta na mesma proporção.

Quanto ao ângulo

Ângulo agudo

Ângulo reto

Ângulo obtuso

Ângulo raso

Ângulo giro ou ângulo completo

Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como:

• Nulo: Um ângulo nulo mede 0°
• Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°
• Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90°. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares.
• Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°.
• Raso: Ângulo que mede exatamente 180°, os seus lados são semi-retas opostas.
• Concavo ou Reentrante: Ângulo que mede mais de 180°e menos de 360°.
• Giro ou Completo: Ângulo que mede 360°. Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta.

O ângulo reto (90°) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...

Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360°).

• Ângulos Consecutivos - Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo.

• Ângulos Adjacentes - Dois ângulos são adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns.

• Ângulos opostos pelo vértice - São ângulos compostos por duas retas cujo ângulo interno ou externos a estas retas e diagonalmente opostos são congruentes.

Quanto a complementações

Ângulos complementares a e b (b é o complemento de a, e a é o complemento de b).

• 
  Ângulos Suplementares - Dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.Ângulos Complementares - Dois ângulos são Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.

• Ângulos Replementares - Dois ângulos são Replementares quando a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o replemento do outro.

• Ângulos Explementares - Dois ângulos são Explementares quando a diferença de suas medidas é igual a 180. Neste caso, cada um é o explemento do outro.                                                                                      

   

Os ângulos a e b são suplementares; a é agudo e b é obtuso.

Expressão popular

Angulo também pode significar o local no gol, em futebol, que se pode ver os 90° da trave, de difícil acesso ao goleiro e considerado local nobre para marcação do gol. "No ângulo", é a expressão exata da jogada.

Fonte;http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%82ngulo

Postado por Bianca Fernanda

Congruência e Semelhança de Triângulos

Temos que dois triângulos são congruentes:
Quando seus elementos (lados e ângulos) determinam a congruência entre os triângulos.
Quando dois triângulos determinam a congruência entre seus elementos.
Casos de congruência:

1º LAL (lado, ângulo, lado): dois lados congruentes e ângulos formados também congruentes.


2º LLL (lado, lado, lado): três lados congruentes.

3º ALA (ângulo, lado, ângulo): dois ângulos congruentes e lado entre os ângulos congruente.

4º LAA (lado, ângulo, ângulo): congruência do ângulo adjacente ao lado, e congruência do ângulo oposto ao lado.

Através das definições de congruência de triângulos podemos chegar às propriedades geométricas sem a necessidade de efetuar medidas. A esse método damos o nome de demonstração.
Dizemos que, em todo triângulo isósceles, os ângulos opostos aos lados congruentes são congruentes. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola

Fonte :http://www.brasilescola.com/matematica/congruencia-e-semelhanca-de-triangulos.htm

Postado por:Bianca Fernanda

Unidades de medida

                                                     O iceberg é menos denso que a água do mar.

Para realizarmos qualquer experimento em Química é preciso conhecer algumas unidades de medida. A medida de uma grandeza é um número que expressa uma quantidade, comparada com um padrão previamente estabelecido. O volume, a massa, a temperatura, a densidade e a pressão são unidades de medida, vejamos cada uma em particular: 

Volume 
O volume de um corpo é a extensão que ele ocupa no espaço. A fórmula para se calcular o volume de um objeto é: 

V = comprimento • altura • largura 

A unidade-padrão usada pelo Sistema Internacional (SI) para representar o volume é o metro cúbico (m³). 
Em nosso cotidiano e nos laboratórios, a unidade mais usada para se medir o volume é o litro (L). 

Massa 
A quantidade de matéria que existe num corpo é definida como massa. Ela é determinada pela comparação da massa desconhecida com outra massa conhecida: o padrão. A unidade padrão de massa dada pelo Sistema Internacional é o quilograma (Kg). Para medir a massa de um objeto, usa-se um aparelho chamado balança. 

Temperatura 

É a relação da capacidade que um corpo tem de transmitir ou receber calor, está relacionada também com o estado de agitação das partículas que formam o corpo. 

O termômetro é o aparelho usado para determinar os valores de temperatura. A graduação do termômetro permite visualizar a variação de temperatura, essa graduação é denominada escala termométrica do aparelho. 

A escala de graduação mais usada é a escala Celsius. Para elaborar esta escala foi preciso dois pontos de referência: a ebulição da água e seu congelamento ao nível do mar, que corresponde a 100°C e 0° C, respectivamente. A escala Kelviné recomendada pelo Sistema Internacional e conhecida como escala absoluta, mas não é muito usada em trabalhos científicos. 

Pressão 
A pressão é uma grandeza física, não vetorial, que relaciona a força exercida sobre uma dada superfície e a área dessa superfície, de acordo com a fórmula: 

P = F       S 
Onde: P = pressão 
F = força
S = área 

Podemos perceber pela equação, que para uma dada força, quanto menor a área, maior a pressão. 


Densidade 
É a razão que relaciona a massa de um material e o volume por ele ocupado. A expressão seguinte permite calcular a densidade de um determinado material: 

d = massa
      volume 
A densidade para sólidos e líquidos é expressa em gramas por centímetro cúbico (g/cm³), para gases é expressa em gramas por litro (g/L). 

Você já observou que em regiões polares é comum ver grandes blocos de gelo (icebergs), flutuando na água do mar? É devido à densidade do gelo (0,92 g/cm³) que é menor que a densidade da água do mar (1,03 g/cm³). 

Por Líria Alves
Graduada em Química
Equipe Brasil Escola

Postado por Bianca Fernanda

Trigonometria e aplicações básicas

Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum na oitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado no âmbito do Ensino Médio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria para obter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.

Algumas aplicações da trigonometria são:

• Determinação da altura de um certo prédio.
  
• Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.
• Seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.
• Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quando ele usa dos recursos trigonométricos.
• Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc. Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

               

Triângulo retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros dois ângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portanto podemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes a ele) são os catetos.

Termo	Origem da palavra
Cateto	Cathetós: (perpendicular)
Hipotenusa	Hypoteinusa: Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)

Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

Letra	Lado	Triângulo	Vértice = Ângulo	Medida
a	Hipotenusa		A = Ângulo reto	A=90°
b	Cateto		B = Ângulo agudo	B<90°
c	Cateto		C = Ângulo agudo	C<90°

Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermos operando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente ao ângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

Ângulo	Lado oposto	Lado adjacente
C	c cateto oposto	b cateto adjacente
B	b cateto oposto	c cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extenso e minucioso.

Propriedade do triângulo retângulo

1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.
2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidade no lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3 alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtida tomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h e perpendicular à base.
   

A hipotenusa como base de um triângulo retângulo

Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.
2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.
3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

Projeções de segmentos

Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobre a reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último caso A'=B' é um ponto.

Projeções no triângulo retângulo

Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.
2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.
3. a = m+n.
4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.

Relações Métricas no triângulo retângulo

Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulos retângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B e DÂB=C.

Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Triângulo	hipotenusa	cateto maior	cateto menor
ABC	a	b	c
ADC	b	n	h
ADB	c	h	m

Assim:

a/b = b/n = c/h
a/c = b/h = c/m
b/c = n/h = h/m

logo:

a/c = c/m    equivale a    c² = a.m
a/b = b/n    equivale a    b² = a.n
a/c = b/h    equivale a    a.h = b.c
h/m = n/h    equivale a    h² = m.n

Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²

que resulta no Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. As três funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letra x.

Função	Notação	Definição
seno	sen(x)	medida do cateto oposto a x medida da hipotenusa
cosseno	cos(x)	medida do cateto adjacente a x medida da hipotenusa
tangente	tan(x)	medida do cateto oposto a x medida do cateto adjacente a x

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisado será a razão entre seno e cosseno desse ângulo.

sen(x)= CO H = CO 1     cos(x)= CA H = CA 1     tan(x)= CO CA = sen(x) cos(x)

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:

cos²(x) + sen²(x) = 1

Postado por: Biããh Fernanda

Fonte:http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigon1/mod114.htm